Бегей е роден в Туба Сити, Аризона, на 11 януари 1954 г. Израства в резервата на навахо, където научава за традиционната култура на навахо от своите родители и баби и дядовци. Бегай започва да рисува и рисува в ранна възраст и скоро осъзнава, че има талант за изкуство.
След като завършва гимназия, Бегай учи изкуство в Института за изкуства на американските индианци в Санта Фе, Ню Мексико. След това посещава университета в Аризона, където получава бакалавърска степен по изящни изкуства.
Картините на Бегай изобразяват различни теми, включително церемонии, ритуали и ежедневие на навахо. Работата му се характеризира с живи цветове, сложни модели и силно чувство за духовност. Картините на Бегай са възхвалявани за красотата, културното им значение и способността им да уловят същността на живота на навахо.
Творбите на Бегай са били излагани в музеи и галерии по целия свят, включително Смитсониън институт, Музеят Хърд и Музеят на модерното изкуство. Той също така е получил множество награди, включително стипендията на Националния фонд за изкуства, наградата за изкуства на губернатора на Аризона и наградите за изкуство на индианците.
Работата на Бегай продължава да вдъхновява и образова зрителите за културата на навахо. Смятан е за един от най-значимите индиански художници на своето поколение.
Бегай почина от рак на 17 август 2012 г. в Туба Сити, Аризона. Той беше на 58 години.