Той е роден на остров Бекия, Сейнт Винсент, и получава колониално основно образование. През 1930 г. Палмър получава стипендия за средно училище в Лондон. С допълнителни стипендии той продължава да учи медицина в университета в Бирмингам, който завършва през 1941 г.
Завръща се в Западна Индия и работи в Ямайка, Тринидад и Тобаго и Сейнт Лусия. През 1950 г. Палмър се завръща в Сейнт Винсент, за да тренира. През 1954 г. Палмър е съосновател на Народната политическа партия (PPP) и е избран за законодател в Законодателния съвет. Избран е за главен министър през 1967 г.
През 1979 г. Палмър поведе Сейнт Винсент и Гренадини към независимост от Обединеното кралство. През същата година е посветен в рицарство от кралица Елизабет II.
През 1984 г. Палмър се оттегля от политиката и е наследен като министър-председател от Джеймс Фиц-Алън Мичъл. Той почина на 92-ия си рожден ден.